Tanım kümesi AXA ve değer kümesi A olan fonksiyona ikili işlem denir.

f :AXA®A

Tanım kümesi A ve değer kümesi A olan fonksiyona birli işlem denir.

f : A®A

Örnek 1

A=N (Doğal sayılar kümesi), f fonksiyonu da toplama işlemi olsun.




Bu durumda;

+ : (4,5)®N

işlemi;

4 + 5 = 9iN

dir. O halde, toplama işlemi doğal sayılar kümesinde tanımlıdır.

Örnek 2

A=N (Doğal sayılar kümesi), f fonksiyonu da çarpma işlemi olsun.




Bu durumda;

x : (3,7)®N

işlemi;

3 x 7 = 21iN

dir. O halde, çarpma işlemi doğal sayılar kümesinde tanımlıdır.

Her işlemin kuralı farklıdır.

O halde, bir kümenin aynı veya farklı iki elemanı işleme tabii tutulduğunda, yine o kümenin bir elemanı elde edilmektedir. Bir kümenin işleme sokulmak üzere alınan eleman çiftine ikili denir.

Doğal sayılar kümesinden herhangi iki eleman alınsın. Bunlar 5 ve 1 olsun. Bu iki elemandan, (5,1) ikilisini oluşturulsun. Bu ikilinin terimleri arasında, bilinen dört işlem uygulanabilir.

5 + 1 = 6

5 - 1 = 4

5 x 1 = 5

5 : 1 = 5

İki eleman arasında uygulanan işlemlerle yeni elemanlar elde edildi.

İşlemler, *,+, -, +, :, x gibi sembollerle gösterilir.

A = {1,2,3,4} olsun * işlemi A kümesinde aşağıdaki tabloda görülen şekilde tanımlanmıştır.

* 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3




Tablodan da görüldüğü gibi ikili işlem, bir kümenin iki elemanını bir elemana götüren kuraldır.

A kümesi herhangi bir küme ve * işlemi A kümesinde tanımlı olsun. * işleminin özellikleri şunlardır:

Herbir a, biA için a*biA oluyorsa, A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

Her bir a, biA için a*b=b*a oluyorsa, A kümesinde * işleminin değişme özeliği vardır.

Her bir a,biA için (a*b)*c=a*(b*c) oluyorsa, A kümesinde * işleminin birleşme özeliği vardır.

Her aiA için, a*e=e*a=a eşitliğini sağlayan bir eiA varsa, e elemanına * işleminin birim elemanı denir.

Her aiA için a*b = b*a = e olacak biçimde bir biA varsa, b elemanına * işlemine göre a elemanının ters elemanı denir.

İLGİLİ KONULAR

Aritmetik, Fonksiyon, Birleşme Özeliği, Birim Eleman, Ters Eleman, Değişme Özeliği