1938 yılında İstanbul'da doğdu. İktisadi ve Ticari İlimler Akademisi'ni bitirdi. 1959 yılında Son Post’da gazeteciliğe başladı. Milliyet Gazetesi'nde de istihbarat şefliği ve spor yazarlığı yaptı. 1963 yılında TSYD üyesi olan Alkış, 1992 yılında TSYD'de Genel Başkanlık görevine getirildi. Daha sonra Hürriyet Gazetesi'ne geçen Nezih Alkış, Hürriyet Gazetesi'nde spordan sorumlu müdür oldu. Alkış'ın gazetecilik alanında pek çok ödülü bulunmaktadır.