Bir A kümesi ve bu küme üzerinde tanımlanan à ikili işlemi aşağıdaki koşulları sağlıyorsa, (A, à) şeklinde gösterilen sisteme grup denir.

A kümesinin, à işlemine göre kapalı olması,

A kümesinin à işlemine göre birim elemanı varsa,

A kümesinin à işlemine göre ters elemanı varsa,

à işleminin A kümesi üzerinde birleşme özeliği varsa,

(A, à) sistemi bir grup oluşturur.

Bir (A, à) grubunun değişme özeliği varsa bu gruba değişmeli grup denir.

Örnek:

Tam sayılar kümesi ile toplama işlemi bir grup oluşturur mu?

Bu sorunun cevabı için koşulların sağlanıp sağlanmadığına bakılmalıdır.

1. Tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı mı?

2iZ ve 5iZ dir. 2 + 5 =7iZ olduğuna göre tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

2. Tam sayılar kümesinin toplama işlemine göre birim elemanı var mı?

Tam sayılar kümesinin her elemanı 0 ile toplandığında yine sayının kendisi elde edilir. örneğin;

8iZ için 8 + 0 = 8 dir. O hâlde, tam sayılar kümesinin toplama işlemine göre birim elemanı vardır ve 0'dır.

3. Tam sayılar kümesinin toplama işlemine göre ters elemanı var mı?

Tam sayılar kümesinin her elemanı kendisinin ters işaretlisi olan sayı ile toplandığında birim eleman olan 0 sayısı elde edilir. örneğin;

9iZ için 9 + (-9) = 9 - 9 = 0 dır. O halde, tam sayılar kümesinin toplama işlemine göre ters elemanı vardır.

4. Tam sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği var mı?

7iZ, 1iZ ve 9iZ dir. Buna göre;

(7 + 1) + 9 = 7 + (1 + 9) eşitliği doğru mu diye bakılır.

(7 + 1) + 9 = 8 + 9 = 17iZ ve,

7 + (1 + 9)= 7 + 10 =17iZ olduğundan birleşme özeliği vardır.

Tüm koşullar sağlandığından Tam sayılar kümesi ile toplama işlemi bir grup oluşturur. Bu sistem (Z, +) şeklinde gösterilir.

(Z, +) grubu değişmeli grup mudur?

(Z, +) grubunun değişmeli grup olması için, tam sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özeliğinin olması gerekir. Bunun için, 9iZ ve 12iZ iken

9 + 12 = 12 + 9

eşitliği doğru mu diye bakılır.

9 + 12 = 21iZ ve 12 + 9 = 21iZ

olduğundan değişme özeliği vardır. O hâlde, (Z, +) değişmeli gruptur.

İLGİLİ KONULAR

İşlem, Birleşme Özeliği, Değişme Özeliği, Birim Eleman, Ters Eleman